Каталог по темам

Задачи

Страница: << 154 155 156 157 158 159 160 >> [Всего задач: 1547]

Задача 110815

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Через центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если BC=8 , AK=5 , B1C1=5 .

Прислать комментарий Решение

Задача 111617

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника ABC проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Прислать комментарий Решение

Задача 111665

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B, BA₁C, CB₁A с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах A₁, B₁ и C₁, причём α + β + γ = 180°. Докажите, что углы треугольника A₁B₁C₁ равны α, β и γ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111670

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC₁B и AB₁C с углом φ при вершине, O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудалённая от точек B₁ и C₁. Докажите, что ∠B₁OC₁ = 180° – φ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111724

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB = a, AD = b. Первая окружность имеет центр в вершине A и проходит через D, вторая имеет центр в C и проходит через D. Произвольная окружность с центром B пересекает первую окружность в точках M₁, N₁, а вторую – в точках M₂, N₂. Чему равно отношение M₁N₁ : M₂N₂?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 154 155 156 157 158 159 160 >> [Всего задач: 1547]