Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]

Задача 109775

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Системы счисления (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Даны многочлены f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена f. Известно, что для некоторых натуральных чисел a < b имеют место равенства f(a) = g(a) и f(b) = g(b). Докажите, что если b > m, то многочлены f и g совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61002

[Формула Тейлора для многочленов]

Темы:	[	Теоремы Тейлора и приближения функций	]
	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням x – c:

P(x) =

c_k(x – c)^k,

причем коэффициенты c_k могут быть найдены по формуле

c_k =

n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 110002

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109630

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Рубанов И.С.

Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает ещё 10 чисел, причём все 20 чисел должны быть положительными и различными. Мог ли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трёхчленов вида x² + px + q, среди коэффициентов p и q которых встречались бы все записанные числа, и (действительные) корни этих трёхчленов принимали ровно 11 различных значений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111694

Темы:	[	Многочлен n-й степени имеет не более n корней	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Центральная симметрия (прочее)	]
	[	Монотонность и ограниченность	]
	[	Свойства коэффициентов многочлена	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение P(m) + P(n) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика y = P(x) есть центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]