Версия для печати
Убрать все задачи

---

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b₁, ..., b_n  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

   Решение

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 606]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116726

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа  a₁, a₂, ..., a_n,  что при всех целых x число
(...((x² + a₁)² + a₂)² + ... + a_n–1)² + a_n   делится на  2n – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35406

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Индукция (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дано n целых чисел, каждое из которых взаимно просто с n. Также дано неотрицательное целое число  r < n.
Докажите, что среди данных n чисел можно выбрать несколько чисел, сумма которых дает остаток r при делении на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66857

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Последовательности (прочее) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, где  $a < N$ . Число $a$ он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100$N$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76478

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Сколько существует натуральных чисел x, меньших 10000, для которых  2^x – x²  делится на 7?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111875

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b₁, ..., b_n  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 606]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями