Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовём тройку натуральных чисел  (a, b, c)  квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (c, b, a)  новой тройкой не считается.)

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 191]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111914

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Назовём последовательность натуральных чисел интересной, если каждый её член, кроме первого, является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних с ним членов. Сеня начал последовательность с трёх натуральных чисел, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Он хотел бы продолжить свою последовательность до бесконечной интересной последовательности, которая ни с какого момента не становится ни арифметической, ни геометрической прогрессией.
Может ли оказаться, что этого нельзя сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111918

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a₁, ..., a_n, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115352

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Назовём тройку натуральных чисел  (a, b, c)  квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка  (c, b, a)  новой тройкой не считается.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73702

Темы:   [ Теорема Эйлера ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В любой арифметической прогрессии  a,  a + d,  a + 2d,  ...,  a + nd,  ...,  составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73737

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Из последовательности  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d  рационально. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 191]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями