Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 109]

Задача 115617

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

D и E – точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со сторонами BC и AC. На биссектрису угла A опустили перпендикуляр BK. Докажите, что точки D, E и K лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116760

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Полянский А.

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁. Пусть I_A, I_B и I_C – центры окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108227

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Исаев М., Цветов Д.

Четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром O. Докажите, что точка O совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника ABCD тогда и только тогда, когда OA·OC = OB·OD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111797

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Макаров И.В.

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180^o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 109]