Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A₁, B₁, C₁ – проекции X на BC, CA, AB, а A₂, B₂, C₂ – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A₁, B₁, C₁ на, соответственно, B₂C₂, C₂A₂, A₂B₂, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

   Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 492]      

Дан треугольник ABC. Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABH, где H – ортоцентр треугольника ABC. Прямые AP, BP пересекают противоположные стороны треугольника в точках A', B'. Найдите геометрическое место середин отрезков A'B'.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность, точка A на ней и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC , проходящие через M . Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC , касаются некоторой фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A₁, B₁, C₁ – проекции X на BC, CA, AB, а A₂, B₂, C₂ – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A₁, B₁, C₁ на, соответственно, B₂C₂, C₂A₂, A₂B₂, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 88 89 90 91 92 93 94 >> [Всего задач: 492]