Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен  P(x) + Q(x)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен  Q(x) + R(x)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен  P(x) + R(x)  получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.

   Решение

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 1547]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116455

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На сторонах АС и ВС равностороннего треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно так, что  AD = ⅓ AC,  CE = ⅓ CE.  Отрезки АЕ и BD пересекаются в точке F. Найдите угол BFC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116897

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116941

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Даны три квадратных трёхчлена P(x), Q(x) и R(x) с положительными старшими коэффициентами, имеющие по два различных корня. Оказалось, что при подстановке корней трёхчлена R(x) в многочлен  P(x) + Q(x)  получаются равные значения. Аналогично при подстановке корней трёхчлена P(x) в многочлен  Q(x) + R(x)  получаются равные значения, а также при подстановке корней трёхчлена Q(x) в многочлен  P(x) + R(x)  получаются равные значения. Докажите, что три числа: сумма корней трёхчлена P(x), сумма корней трёхчлена Q(x) и сумма корней трёхчлена R(x) равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52507

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна третьей стороне.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55134

Темы:   [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Два треугольника A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂, площади которых равны соответственно S₁ и S₂, расположены так, что лучи A₁B₁ и A₂B₂, B₁C₁ и B₂C₂, C₁A₁ и C₂A₂ противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 142 143 144 145 146 147 148 >> [Всего задач: 1547]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями