а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть  p > 5  – простое число. Докажите, что число 1...1  (p – 1  единица) делится на p.

   Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 2440]      

Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Q_p(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что  f(n) – Q_p(n)  делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что  g(n) = f(n)  для любого целого n?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при  n > 1  число   1¹ + 3³ + ... + (2ⁿ – 1)^{2n – 1}   делится на 2ⁿ, но не делится на 2ⁿ⁺¹.

Прислать комментарий

Решение

а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть  p > 5  – простое число. Докажите, что число 1...1  (p – 1  единица) делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a⁵ делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий

Решение

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 160 161 162 163 164 165 166 >> [Всего задач: 2440]