Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

   Решение

---

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61078  [Тождество Диофанта]

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9,10,11

Докажите равенство   (a² + b²)(u² + v²) = (au + bv)² + (av – bu)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34835

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77970

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что при любом натуральном n число  n² + 8n + 15  не делится на  n + 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102831

Темы:   [ Последовательности ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Точные квадраты. Доказать, что являются точными квадратами все числа вида 16; 1156; 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98007

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Положительные числа a, b, c, d таковы, что  a ≤ b ≤ c ≤ d  и  a + b + c + d ≥ 1.  Докажите, что  a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями