Каталог по темам

Задачи

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 172]

Задача 78117

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9

Внутри равностороннего треугольника ABC находится точка O. Прямая OG, соединяющая O с центром тяжести (точкой пересечения медиан) G треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках A', B', C'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ = 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57414

Темы:	[	Неравенства с медианами	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Формула Герона	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Докажите, что | a² - b²|/(2c) < m_c $\leq$ (a² + b²)/(2c).

Прислать комментарий Решение

Задача 98486

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Автор: Токарев С.И.

В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.
а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105094

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один раз. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять
а) более 75% от общего количества партий в турнире;
б) более 70%?

Прислать комментарий

Решение

Задача 34894

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 172]