Каталог по темам

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 222]

Задача 35040

Темы:	[	Стереометрия (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся 4 вершины A, B, C, D, обладающие следующим свойством: для каждой из четырех вершин A, B, C, D, многогранник целиком лежит по одну сторону от плоскости, проходящей через эту точку и параллельной плоскости, проходящей через три другие вершины.

Прислать комментарий Решение

Задача 67302

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Авторы: Устинов А.В., Юран А.Ю.

Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.

Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66401

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

Автор: Пешнин А.

В какое наименьшее количество цветов можно покрасить натуральные числа так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 2 или в два раза, были покрашены в разные цвета?

Прислать комментарий Решение

Задача 79354

Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Вспомогательные проекции	]

Сложность: 3+
Классы: 10

Существует ли на плоскости конечный набор различных векторов $\overrightarrow{a_1}$ , $\overrightarrow{a_2}$ , ..., $\overrightarrow{a_n}$ такой, что для любой пары различных векторов из этого набора найдётся такая другая пара из этого набора, что суммы каждой из пар равны между собой?

Прислать комментарий Решение

Задача 79301

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 222]