Каталог по темам

Задачи

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 275]

Задача 55425

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Найдите радиус окружности, проходящей через вершину D трапеции ABCD, касающейся прямой AB, и пересекающей сторону AD в точке на расстоянии 1 от A, если угол ABC равен 120^o, а сторона BC равна 5.

Прислать комментарий Решение

Задача 64758

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4

Медианы AA₀, BB₀ и CC₀ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, а высоты AA₁, BB₁ и CC₁ – в точке H. Касательная к описанной окружности треугольника A₁B₁C₁ в точке C₁ пересекает прямую A₀B₀ в точке C'. Точки A' и B' определяются аналогично. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64764

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шмаров В.

Точка M – середина стороны AC остроугольного треугольника ABC, в котором AB > BC. Касательные к описанной окружности Ω треугольника ABC, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке P. Отрезки BP и AC пересекаются в точке S. Пусть AD – высота треугольника BP. Описанная окружность ω треугольника CSD второй раз пересекает окружность Ω в точке K. Докажите, что ∠CKM = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65801

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Крутовский Р., Фролов И.И.

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66974

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Рябов П.

Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) пересекаются в точке $O$. На отрезках $BC$ и $AD$ выбраны соответственно точки $M$ и $N$. К окружности $AMC$ проведена касательная из $C$ до пересечения с лучом $NB$ в точке $P$; к окружности $BND$ из $D$ проведена касательная до пересечения с лучом $MA$ в точке $R$. Докажите, что $\angle BOP=\angle AOR$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 275]