Проведены четыре радиуса OA, OB, OC и OD окружности с центром O. Докажите, что если + + + = , то ABCD — прямоугольник.

   Решение

Докажите следующие свойства подходящих дробей:
  а)  P_kQ_k–2 – P_k–2Q_k = (–1)^ka_k  (k ≥ 2);
  б)   – =   (k ≥ 1);
  в)  Q₁ < Q₂ < ... < Q_n;
  г)   < < < ... ≤ ≤ ... < < < ;

   Решение

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A₁...A₃₀ следующие тройки диагоналей:
  а) A₁A₇, A₂A₉, A₄A₂₃;
  б) A₁A₇, A₂A₁₅, A₄A₂₉;
  в) A₁A₁₃, A₂A₁₅, A₁₀A₂₉
пересекаются в одной точке.

   Решение

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 772]      

Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что  CK = BL = (a + b - c)/2, где a, b, c — длины сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.

Прислать комментарий

Решение

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что KX = XL.

Прислать комментарий

Решение

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 772]