Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]

Задача 57068

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65521

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Через точку P проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника ABC (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65821

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Отношения площадей (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Филимонов В.П., Погребняк В.

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение S_DEF : S_ABC а) больше 1; б) не меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97916

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Гуревич Г.А.

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98455

Темы:	[	Неравенства для площади треугольника	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Черепанов Е.

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]