На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек.
Докажите, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до всех отмеченных точек будет не меньше 100.

   Решение

Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего ортоцентры треугольников ABC и DEF, где A, B, C, D, E, F – эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.

   Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

   Решение

Паутина имеет вид клетчатой сетки 100×100 узлов (другими словами, это сетка 99×99 клеток). В каком-то её углу сидит паук, а в некоторых 100 узлах к паутине приклеились мухи. За ход паук может переместиться в любой соседний с ним узел. Может ли паук гарантированно съесть всех мух, затратив не более
  а) 2100 ходов;
  б) 2000 ходов?

   Решение

Основание пирамиды SABCD – произвольный четырёхугольник ABCD . Постройте прямую пересечения плоскостей ABS и CDS .

   Решение

Угол A четырехугольника ABCD тупой; F — середина стороны BC. Докажите, что 2FA < BD + CD.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]      

В четырехугольнике ABCD углы A и B равны, a  D > C. Докажите, что тогда AD < BC.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD углы при основании AD удовлетворяют неравенствам  A < D < 90^o. Докажите, что тогда AC > BD.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.

Прислать комментарий

Решение

Угол A четырехугольника ABCD тупой; F — середина стороны BC. Докажите, что 2FA < BD + CD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]