Версия для печати
Убрать все задачи
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются
в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов.
Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком
лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не
обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
Решение
В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого k (2 ≤ k ≤ N) при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2k – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что
не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.
Решение
Андрей ведёт машину со скоростью 60 км/ч. Он хочет проезжать каждый километр на 1 минуту быстрее. На сколько ему следует увеличить скорость?
Решение
Дан треугольник АВС и две прямые l1, l2. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l1, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l2, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.
Решение
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.
Решение
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на
одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников
с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Решение
Фильтр
