Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (ортоцентрический тетраэдр)}тогда и только тогда, когда равны произведения косинусов противоположных двугранных углов тетраэдра.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что  A₁C·BC = B₁C·AC.

   Решение

Основание пирамиды – квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 45^o . Среднее по величине боковое ребро равно l . Найдите объём и полную поверхность пирамиды.

   Решение

В одном государстве 100 городов и каждый соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения не более чем на одной дороге так, чтобы от каждого города можно было доехать до любого другого.

   Решение

Известно, что в выпуклом n-угольнике  (n > 3)  никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.

   Решение

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 71]      

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.

Прислать комментарий

Решение

Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это.

Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.

Прислать комментарий

Решение

Прожектор освещает угол величиной 90^o. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 71]