Коридор покрыт несколькими ковровыми дорожками (возможно, с наложениями). Докажите, что можно убрать несколько дорожек таким образом, чтобы оставшиеся дорожки покрывали коридор и сумма их длин не превышала удвоенной длины коридора.

   Решение

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

   Решение

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 1. Из трёх углов при вершине пирамиды два – прямые.
Найдите наибольший объём пирамиды.

   Решение

Постройте окружность, которая проходила бы через две данные точки и центр которой находился бы на данной прямой.

   Решение

Гениальные математики. а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.)
б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не превосходят 1000?

   Решение

Внутри стороны BC правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку C и параллельная AD, пересекает прямую AB в точке E. Докажите, что  

   Решение

На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.

   Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 298]      

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах АВ, ВС и АС данного треугольника АВС?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

Прислать комментарий

Решение

Найдите уравнение описанной окружности треугольника A₁A₂A₃ в барицентрических координатах.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 298]