Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 61423

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Пусть T_α(x, y, z) ≥ T_β(x, y, z) для всех неотрицательных x, y, z. Докажите, что

Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, про показатели смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98188

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Рубин А.

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98141

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Метод спуска	]
	[	Отношение порядка	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Анджанс А.

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61424

[Неравенство Мюрхеда]

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Симметрические многочлены	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пусть α = (α₁, ..., α_n) и β = (β₁, ..., β_n) – два набора показателей с равной суммой.
Докажите, что, если α ≠ β, то при всех неотрицательных x₁, ..., x_n выполняется неравенство T_α(x₁, ..., x_n) ≥ T_β(x₁, ..., x_n).
Определение многочленов T_α смотри в задаче 61417, определение сравнения для показателей можно найти в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98100

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]