ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 – в точке B2. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A2B2C2.

   Решение

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 139]      



Задача 116952

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Три попарно непересекающиеся окружности ωx, ωy, ωz радиусов rx, ry, rz лежат по одну сторону от прямой t и касаются её в точках X, Y, Z соответственно. Известно, что Y – середина отрезка XZ,  rx = rz = r,  а  ry > r.  Пусть p – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωx и ωy, а q – одна из общих внутренних касательных к окружностям ωy и ωz. В пересечении прямых p, q, t образовался неравнобедренный треугольник. Докажите, что радиус его вписанной окружности равен r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64357

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 – в точке B2. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A2B2C2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64922

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В треугольнике ABC на стороне AB отметили точку D. Пусть ω1 и Ω1, ω2 и Ω2 – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся AB во внутренней точке) окружности треугольников ACD и BCD. Докажите, что общие внешние касательные к ω1 и ω2, Ω1 и Ω2 пересекаются на прямой AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65747

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором  AB < AC.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма  XY + XZ  не зависит от выбора точки X.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66262

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

В треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 139]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .