Версия для печати
Убрать все задачи

---

Трапеция ABCD такова, что на её боковых сторонах AD и BC существуют такие точки P и Q соответственно, что  ∠APB = ∠CPD,  ∠AQB = ∠CQD.
Докажите, что точки P и Q равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.

   Решение

---

Корни квадратного трёхчлена  f(x) = x² + bx + c  равны m₁ и m₂, а корни квадратного трёхчлена  g(x) = x² + px + q  равны k₁ и k₂.
Докажите, что  f(k₁) + f(k₂) + g(m₁) + g(m₂) ≥ 0.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109641

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110209

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Доказательство от противного ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a₁x + b₁,  ...,  x² – a_nx + b_n,  причём все 2n чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  является корнем одного из этих трёхчленов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111865

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  x² – ax + b = 0  и  x² – bx + a = 0  имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60957

Темы:   [ Симметрические многочлены ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения  x² – (m + 1)x + m – 1 = 0  является наименьшей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64546

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3

Корни квадратного трёхчлена  f(x) = x² + bx + c  равны m₁ и m₂, а корни квадратного трёхчлена  g(x) = x² + px + q  равны k₁ и k₂.
Докажите, что  f(k₁) + f(k₂) + g(m₁) + g(m₂) ≥ 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями