Каталог по темам

Задачи

Страница: << 102 103 104 105 106 107 108 >> [Всего задач: 606]

Задача 60887

Темы:	[	Периодические и непериодические дроби	]
	[	Функция Эйлера	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби ^m/_n не превосходит φ(n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 64728

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Гашков С.Б., Фольклор

Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x) = ax² + bx + c с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа f(1), f(2), ..., f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65157

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-

Автор: Жуков Г.

По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.
Найдите наибольшее натуральное N, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77885

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Метод спуска	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Найти такие целые числа x, y, z и t, что x² + y² + z² + t² = 2xyzt.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79285

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200.
Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 102 103 104 105 106 107 108 >> [Всего задач: 606]