Версия для печати
Убрать все задачи

---

  Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что  a_n = a  и  a_i+1 = a_i – S(a_i)  при всех  i = 0, 1, ..., n – 1.  Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

   Решение

Страница: << 230 231 232 233 234 235 236 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65245

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ] [ Подсчет двумя способами ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

  Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что  a_n = a  и  a_i+1 = a_i – S(a_i)  при всех  i = 0, 1, ..., n – 1.  Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73667

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Четность и нечетность ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

По окружности выписаны n чисел  x₁, x₂, ..., x_n,  каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого  k = 1, 2, ..., n – 1  сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть  x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0,  x₁x₃ + x₂x₄ + ... + x_nx₂ = 0,  x₁x₄ + x₂x₅ + ... + x_nx₃ = 0  и так далее; например, для  n = 4  можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
  а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
  б)* Существует ли такой набор чисел для  n = 16?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79385

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Три прямолинейных коридора одинаковой длины l образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем r. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если:   а)  r > ^l/₃;   б)   r > ^l/₄;   в)   r > ^l/₅;   г)   r > ^l/₇.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79645

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5 Классы: 7,8

См. задачу 79385 в) и г).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105083

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Четность и нечетность ] [ Обход графов ] [ Процессы и операции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Система укреплений состоит из блиндажей. Некоторые из блиндажей соединены траншеями, причём из каждого блиндажа можно перебежать в какой-нибудь другой. В одном из блиндажей спрятался пехотинец. Пушка может одним выстрелом накрыть любой блиндаж. В каждом промежутке между выстрелами пехотинец обязательно перебегает по одной из траншей в соседний блиндаж (даже если по соседнему блиндажу только что стреляла пушка, пехотинец может туда перебежать). Назовём систему надёжной, если у пушки нет гарантированной стратегии поражения пехотинца (то есть такой последовательности выстрелов, благодаря которой пушка поразит пехотинца независимо от его начального местонахождения и последующих передвижений).

  а) Докажите, что система укреплений, изображённая на рисунке, надёжна.
  б) Найдите все надёжные системы укреплений, которые перестают быть надёжными после разрушения любой из траншей.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 230 231 232 233 234 235 236 >> [Всего задач: 1221]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями