Страница:
<< 232 233 234 235
236 237 238 >> [Всего задач: 1221]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять c = 4.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для c = 3.
г) Постройте пример, показывающий, что при c > 3 утверждение неверно.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для каждых четырёх городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы каждый из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на
которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю
сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному,
причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный
многоугольник можно вписать окружность.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две
фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать
параллельно линиям сетки на целое число клеток.
Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел,
записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй
фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.
Страница:
<< 232 233 234 235
236 237 238 >> [Всего задач: 1221]
Фильтр
