Страница:
<< 76 77 78 79
80 81 82 >> [Всего задач: 590]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы,
удовлетворяют соотношению abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" n мальчиков. В тире, куда пришли ребята, n мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.
а) Найти среднее количество поражённых мишеней.
б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше n/2?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 кг. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет
вес 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что для любых натуральных a1, a2, ..., ak
таких, что 
, у уравнения
не больше чем a1a2...ak решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число,
не превосходящее x.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.
Страница:
<< 76 77 78 79
80 81 82 >> [Всего задач: 590]
Фильтр
Решение 
