Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]

Задача 87028

Темы:	[	Свойства сечений	]
	[	Отношение объемов	]
	[	Скрещивающиеся прямые и ГМТ	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что плоскость, проходящая через середины двух противоположных рёбер любой треугольной пирамиды, делит её объём пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 65681

Темы:	[	Куб	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Сфера, вписанная в трехгранный угол	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Малые шевеления	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

В куб с ребром 1 поместили 8 непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше 4?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109021

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая в пространстве	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Перпендикуляр и наклонная	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий Решение

Задача 105166

Темы:	[	Двугранный угол	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Полярный трехгранный угол	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

Прислать комментарий Решение

Задача 110485

[Равногранный тетраэдр]

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]