Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ в точке $A'$. Через $I$ проведена прямая $l\perp BI$. Оказалось, что $l$ пересекает $I_AA'$ в точке $K$, лежащей на средней линии, параллельной $BC$. Докажите, что $\angle B\leq 60^{\circ}$.

   Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66925

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, вневписанная окружность с центром $I_A$ касается стороны $BC$ в точке $A'$. Через $I$ проведена прямая $l\perp BI$. Оказалось, что $l$ пересекает $I_AA'$ в точке $K$, лежащей на средней линии, параллельной $BC$. Докажите, что $\angle B\leq 60^{\circ}$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108174

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AC, AB и BC в точках K, M и N соответственно. Медиана BB₁ треугольника пересекает MN в точке D. Докажите, что точка O лежит на прямой DK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108907

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть BM – медиана остроугольного треугольника ABC. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABM, и касательная в точке C к описанной окружности треугольника BCM, пересекаются в точке D. Докажите, что точка K, симметричная точке D относительно прямой AC лежит на прямой BM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110792

Темы:   [ Признаки подобия ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Преобразования подобия (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке AA₁ взята такая точка A', что  AA' : A₁A' = BC : B₁C₁.  Аналогично строим B' и C'. Докажите, что A', B' и C' лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108249

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B₁ и B₂ – точки её пересечения со стороной AC, B₁ – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B₂E и B₁F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями