Правильный шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Точки P и Q выбраны на касательных, проведённых к этой окружности в точках A и D соответственно, так, что прямая PQ касается меньшей дуги EF этой окружности. Найдите угол между прямыми PB и QC.

   Решение

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, а также  AD = BE = CF.  Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

   Решение

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 375]      

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂,  X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что  X₁X₂ || Y₁Y₂.

Прислать комментарий

Решение

Окружности $\omega_1$, $\omega_2$ с центрами $O_1$, $O_2$ соответственно лежат одна вне другой. На этих окружностях взяты точки $C_1$, $C_2$, лежащие по одну сторону от прямой $O_1O_2$. Луч $O_1C_1$ пересекает $\omega_2$ в точках $A_2$, $B_2$, а луч $O_2C_2$ пересекает $\omega_1$ в точках $A_1$, $B_1$. Докажите, что $\angle A_1O_1B_1=\angle A_2B_2C_2$ тогда и только тогда, когда $C_1C_2\parallel O_1O_2$.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ с высотой $AH=h$ проведена прямая через центры $O$ и $I$ описанной и вписанной окружностей. Эта прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $N$ соответственно, причем около четырехугольника $BFNC$ можно описать окружность. Найдите сумму расстояний от ортоцентра треугольника $ABC$ до его вершин.

Прислать комментарий

Решение

Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB квадрата ABCD взята точка K, на стороне CD – точка L, на отрезке KL – точка M. Докажите, что вторая (отличная от M) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AKM и MLC, лежит на диагонали AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 375]