Каталог по темам

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 204]

Задача 58090

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Внутри выпуклого 2n-угольника взята точка P. Через каждую вершину и точку P проведена прямая. Докажите, что найдется сторона 2n-угольника, с которой ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 73555

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Итерации	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9,10

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?

Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 78217

Темы:	[	ГМТ в пространстве (прочее)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Скрещивающиеся прямые и ГМТ	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P₁ и P₂, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 79397

Темы:	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Многоугольники (неравенства)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

X и Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник X содержится внутри Y. Пусть S(X) и S(Y) — площади этих многоугольников, а P(X) и P(Y) — их периметры. Доказать, что ${\frac{S(X)}{P(X)}}$ < 2^. ${\frac{S(Y)}{P(Y)}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 73545

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Теорема Хелли	]
	[	Общие четырехугольники	]
	[	Перпендикуляр и наклонная	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Гальперин Г.А.

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 204]