Каталог по темам

Задачи

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 [Всего задач: 694]

Задача 73773

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Бином Ньютона	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Шлейфер Р.

Для любого натурального числа n сумма делится на 2^n–1. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73620

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Васерштейн Л.Н.

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма не равна нулю. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 76460

Темы:	[	Пересекающиеся сферы	]
	[	Окружности на сфере	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

Прислать комментарий Решение

Задача 73795

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 7-
Классы: 8,9,10

Автор: Гуревич Г.А.

Окружность разбита точками A₁, A₂,..., A_n на n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги A₂A₆ и A₆A₁₀ одинаково окрашены.)

Докажите, что если для каждой точки разбиения A_k можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом A_k, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 [Всего задач: 694]