Каталог по темам

Задачи

Страница: << 199 200 201 202 203 204 205 >> [Всего задач: 1111]

Задача 73771

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Сойфер А.Л., Слободник С.Г.

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78747

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Задачи на движение	]

Сложность: 4+
Классы: 8

В парке шесть узких аллей одинаковой длины, четыре из которых идут по сторонам квадрата и две по его средним линиям. По этим аллеям мальчик Коля убегает от папы и мамы. Смогут ли папа и мама поймать Колю, если он бегает втрое быстрее их (все трое всё время видят друг друга)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98160

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110068

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Связность и разложение на связные компоненты	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Певзнер И.

Множество клеток на клетчатой плоскости назовем ладейно связным, если из каждой его клетки можно попасть в любую другую, двигаясь по клеткам этого множества ходом ладьи (ладье разрешается перелетать через поля, не принадлежащие нашему множеству). Докажите, что ладейно связное множество из 100 клеток можно разбить на пары клеток, лежащих в одной строке или в одном столбце.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111865

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 199 200 201 202 203 204 205 >> [Всего задач: 1111]