Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас куба?
б) Какой максимальной длины кусок проволоки можно вырезать из этого каркаса? (Длина ребра куба равна 1 см.)

   Решение

---

Найдите наибольшее значение выражения  a + b + c + d – ab – bc – cd – da,  если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку  [0, 1].

   Решение

---

Существуют ли  а) 6,  б)15,  в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма  a + b  делится на разность  a − b?

   Решение

---

Два угла прямоугольного листа бумаги согнули так, как показано на рисунке. Противоположная сторона при этом оказалась разделённой на три равные части. Докажите, что закрашенный треугольник – равносторонний.

   Решение

---

На сколько частей могут разделить пространство n плоскостей?
(Каждые три плоскости пересекаются в одной точке, никакие четыре плоскости не имеют общей точки.)

   Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 328]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 76447

Темы:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На сколько частей могут разделить пространство n плоскостей?
(Каждые три плоскости пересекаются в одной точке, никакие четыре плоскости не имеют общей точки.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78014

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Функция Мебиуса ] [ Индукция (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дано число  H = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37  (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., H – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78682

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разложение на множители ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что  aⁿ – bⁿ  делится на n (a, b, n – натуральные числа,  a ≠ b).  Доказать, что делится на n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78828

Темы:   [ Обход графов ] [ Ориентированные графы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79343

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Существуют ли  а) 6,  б)15,  в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма  a + b  делится на разность  a − b?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 328]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями