Каталог по темам

Задачи

Страница: << 153 154 155 156 157 158 159 >> [Всего задач: 2440]

Задача 78682

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Известно, что aⁿ – bⁿ делится на n (a, b, n – натуральные числа, a ≠ b). Доказать, что делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79343

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79440

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Доказать, что 4^m − 4ⁿ делится на 3^k+1 тогда и только тогда, когда m − n делится на 3^k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79533

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами.
Докажите, что произведение этих чисел не может оканчиваться на 1988.

Прислать комментарий

Решение

Задача 86110

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4
Классы: 9

Автор: Канель-Белов А.Я.

На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 153 154 155 156 157 158 159 >> [Всего задач: 2440]