Страница:
<< 156 157 158 159
160 161 162 >> [Всего задач: 2440]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Дано натуральное n > 1. Число a > n² таково, что среди чисел a + 1, a + 2, ..., a + n есть кратные каждого из чисел n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что a > n4 – n³.
Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в
три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечётное число главных дорог.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа a1, a2, ..., an, что при всех целых x число
(...((x² + a1)² + a2)² + ... + an–1)² + an делится на 2n – 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 1010, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?
Страница:
<< 156 157 158 159
160 161 162 >> [Всего задач: 2440]
Фильтр
