На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)² попыток?

   Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 411]      

P и Q – подмножества множества выражений вида  (a₁, a₂, ..., a_n),  где a_i – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kⁿ). Для каждого элемента  (p₁, ..., p_n)  множества P и каждого элемента  (q₁, ..., q_n)  множества Q существует хотя бы один такой номер m, что  p_m = q_m.  Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^n–1 элементов для
  а)  k = 2  и любого натурального n;
  б)  n = 2  и любого натурального  k > 1;
  в) произвольного натурального n и произвольного натурального  k > 1.

Прислать комментарий

Решение

Для любого натурального числа n сумма     делится на 2^n–1. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105063

Темы:   [ Итерации ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Автор: Буфетов А.И.

Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть из точки x либо в точку x/3^1/2, либо в точку x/3^1/2+(1-(1/3^1/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73620

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Индукция (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Автор: Васерштейн Л.Н.

Для любых натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_m, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b₁, b₂, ..., b_m сумма     не равна нулю. Докажите это.