Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 288]

Задача 116930

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Куб	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Гальперин Г.А.

Петя расставляет в вершинах куба числа 1 и –1. Андрей вычисляет произведение четырёх чисел, стоящих в вершинах каждой грани куба, и записывает его в центре этой грани. Петя утверждает, что он сможет так расставить числа, что их сумма и сумма чисел, записанных Андреем, будут противоположными. Прав ли Петя?

Прислать комментарий

Решение

Задача 32803

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

На каждой клетке шахматной доски стоит шашка, с одной стороны белая, с другой черная. За один ход можно выбрать любую шашку и перевернуть все шашки, стоящие с выбранной на одной вертикали, и все шашки, стоящие с ней на одной горизонтали.
а) Придумайте, как перевернуть ровно одну шашку на доске 6×6, произвольно уставленной шашками.
б) Можно ли добиться того, чтобы все шашки на доске 5×6 стали белыми, если чёрными изначально была ровно половина шашек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60672

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Прислать комментарий

Решение

Задача 97952

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Раскраски	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Фольклор

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98072

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Тремя бесконечными сериями равноотстоящих параллельных прямых плоскость разбита на равносторонние треугольники со стороной 1.
M – множество всех их вершин. A и B – две вершины одного треугольника. Разрешается поворачивать плоскость на 120° вокруг любой из вершин множества M. Можно ли за несколько таких преобразований перевести точку A в точку B?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 288]