Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке $(0,0)$ и вершинами в точках с целыми координатами, что каждое очередное звено идет по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк — фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которых можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n>2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

   Решение

---

За круглым столом были приготовлены 12 мест для жюри с указанием имени на каждом месте. Николай Николаевич, пришедший первым, по рассеянности сел не на своё, а на следующее по часовой стрелке место. Каждый член жюри, подходивший к столу после этого, занимал своё место или, если оно уже было занято, шёл вокруг стола по часовой стрелке и садился на первое свободное место. Возникшее расположение членов жюри зависит от того, в каком порядке они подходили к столу. Сколько может возникнуть различных способов рассадки жюри?

   Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 316]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98419

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Задачи с ограничениями ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

За круглым столом были приготовлены 12 мест для жюри с указанием имени на каждом месте. Николай Николаевич, пришедший первым, по рассеянности сел не на своё, а на следующее по часовой стрелке место. Каждый член жюри, подходивший к столу после этого, занимал своё место или, если оно уже было занято, шёл вокруг стола по часовой стрелке и садился на первое свободное место. Возникшее расположение членов жюри зависит от того, в каком порядке они подходили к столу. Сколько может возникнуть различных способов рассадки жюри?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98547

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В строке записано несколько чисел. Каждую секунду робот выбирает какую-либо пару рядом стоящих чисел, в которой левое число больше правого, меняет их местами и при этом умножает оба числа на 2. Докажите, что через некоторое время сделать очередную такую операцию будет невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109487

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Раскраски ] [ Таблицы и турниры (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В таблице размера n×n клеток: две противоположные угловые клетки – чёрные, а остальные – белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в чёрный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать чёрными все клетки таблицы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109512

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109576

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Средние величины ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек  (m > n).  За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 316]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями