Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 96]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98464

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109637

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа k, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес k самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса k самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше x, на монету веса x (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй, каково бы ни было положительное число x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109824

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  ⁿ⁺¹/₄.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110146

Темы:   [ Необычные конструкции ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116048

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На кольцевом треке 2n велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее n² встреч.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 96]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями