Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109775

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Системы счисления (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Метод спуска ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Даны многочлены  f(x) и g(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, m – наибольший коэффициент многочлена  f. Известно, что для некоторых натуральных чисел  a < b  имеют место равенства  f(a) = g(a)  и  f(b) = g(b).  Докажите, что если  b > m,  то многочлены  f и g совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61002  [Формула Тейлора для многочленов]

Темы:   [ Теоремы Тейлора и приближения функций ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням  x – c:

причем коэффициенты c_k могут быть найдены по формуле

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110002

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109630

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает ещё 10 чисел, причём все 20 чисел должны быть положительными и различными. Мог ли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трёхчленов вида  x² + px + q,  среди коэффициентов p и q которых встречались бы все записанные числа, и (действительные) корни этих трёхчленов принимали ровно 11 различных значений?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111694

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Многочлен P(x) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  P(m) + P(n) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах m и n.
Докажите, что у графика  y = P(x)  есть центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 50]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями