Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n,  принимающий при  x = 0  и  x = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

   Решение

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 368]      

В каждой целой точке числовой оси расположена лампочка с кнопкой, при нажатии которой лампочка меняет состояние – загорается или гаснет. Вначале все лампочки погашены. Задано конечное множество целых чисел – шаблон S. Его можно перемещать вдоль числовой оси как жесткую фигуру и, приложив в любом месте, поменять состояние множества всех лампочек, закрытых шаблоном. Докажите, что при любом S за несколько операций можно добиться того, что будут гореть ровно две лампочки.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел  n – 1,  n,  n + 1,  что:
  a) n представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а  n – 1  и  n + 1  – нет;
  б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры.
Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности могут быть нечётными?

Прислать комментарий

Решение

В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Прислать комментарий

Решение

Решить в целых числах уравнение  x² + y² + z² = 2xyz.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 368]