Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 629]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30312

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Взвешивания ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Решение

Отложим Петину монету в сторону. Разделим остальные 100 монет на две кучки по 50 монет и сравним веса этих кучек. Если они отличаются на чётное число граммов, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечётна, то монета фальшивая.

Ответ

Сможет.

Прислать комментарий

---

Задача 30946

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Раскраски ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Доска 9×9 раскрашена в девять цветов, причём раскраска симметрична относительно главной диагонали.
Доказать, что на этой диагонали все клетки раскрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

---

Задача 32018

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять единицу к любым двум из них.
Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?

Решение

См. задачу 35134.

Прислать комментарий

---

Задача 32103

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3 Классы: 5,6,7,8,9

На турнире им. Ломоносова в институте МИМИНО были конкурсы по математике, физике, химии, биологии и бальным танцам. Когда турнир закончился, выяснилось, что на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников, и каждый школьник участвовал в нечётном количестве конкурсов. Чётное или нечётное число школьников пришло на турнир в МИМИНО?

Решение

  Рассмотрим сумму количеств участников по всем пяти конкурсам. Эта сумма нечётна, так как на каждом конкурсе побывало нечётное количество школьников.
  С другой стороны, это же число можно получить, сложив для каждого школьника количество конкурсов, в которых он участвовал. Поскольку сумма нечётна и все слагаемые нечётны, то их количество нечётно.

Ответ

Нечётное.

Прислать комментарий

---

Задача 32947

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Шахматная раскраска ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8

Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны
  а) клеточки b3 и e7;
  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

Решение

а) См. рис.

б) См. задачу 104026 б).

Ответ

а) Можно;  б) нельзя.

Прислать комментарий

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 629]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями