Страница:
<< 98 99 100 101
102 103 104 >> [Всего задач: 694]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В возрастающей бесконечной последовательности натуральных чисел каждое число,
начиная с 2002-го, является делителем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что
в этой последовательности найдётся некоторое число, начиная с которого каждое число равно сумме всех предыдущих.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют n поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции A, B и C (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию A и одновременно Лёша входит на станцию B, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша – раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дана последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, в которой a1 не делится на 5 и для всякого n an+1 = an + bn, где bn – последняя цифра числа an. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для
которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5;
an+1 = [
an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
Страница:
<< 98 99 100 101
102 103 104 >> [Всего задач: 694]
Фильтр
