Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 96]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно
разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На столе лежат две кучки монет. Известно, что суммарный вес монет из первой кучки равен суммарному весу монет из второй кучки, а для каждого натурального числа k, не превосходящего числа монет как в первой, так и во второй кучке, суммарный вес k самых тяжелых монет из первой кучки не больше суммарного веса k самых тяжелых монет из второй кучки. Докажите, что если заменить каждую монету, вес которой не меньше x, на монету веса
x (в обеих кучках), то первая кучка монет окажется не легче второй,
каково бы ни было положительное число x.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила n+1/4.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух
входящих в него чисел
a и
b (
a>b ) хотя бы одно из чисел
a+b
или
a-b тоже входит в набор.
Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то
разности между соседними числами окажутся одинаковыми.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На кольцевом треке 2n велосипедистов стартовали одновременно из одной точки и поехали с постоянными различными скоростями (в одну сторону). Если после старта два велосипедиста снова оказываются одновременно в одной точке, назовём это встречей. До полудня каждые два велосипедиста встретились хотя бы раз, при этом никакие три или больше не встречались одновременно. Докажите, что до полудня у каждого велосипедиста было не менее n² встреч.
Страница:
<< 9 10 11 12
13 14 15 >> [Всего задач: 96]
Фильтр
