На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

   Решение

Пусть a , b и c – стороны треугольника, m_a , m_b и m_c – медианы, проведённые к этим сторонам, D – диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что

+ + 6D.

   Решение

В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.

   Решение

Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2 k 50 . Докажите, что можно отметить 2k вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри 2k -угольника с отмеченными вершинами.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

Расставьте в клетки квадрата 3×3 различные целые положительные числа, не большие 25, так, чтобы в любой паре соседних по стороне клеток одно число делилось на другое.

Прислать комментарий

Решение

Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять сумм отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько – отрицательны?

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье делится на 98, ..., последнее делится на 2?

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли такие три попарно различных натуральных числа a, b и c, что числа a + b + c и a · b · c являются квадратами некоторых натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

Существует ли число, в десятичной записи квадрата которого имеется последовательность цифр «2018»?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]