Каталог по темам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 98]

Задача 109754

Темы:	[	Показательные функции и логарифмы	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinⁿ x- cosⁿ x| 3| sin^m x- cos^m x|;

Прислать комментарий

Решение

Задача 73605

Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Композиции проекций	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

Прислать комментарий Решение

Задача 64344

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Богданов И.И.

Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений (x – a)(x – b) = x – c, (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b имеют решение.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110149

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Многочлен нечетной степени имеет действительный корень	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Храмцов Д.

Пусть многочлен P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₀ имеет хотя бы один действительный корень и a₀ ≠ 0. Докажите, что, последовательно вычеркивая в некотором порядке одночлены в записи P(x), можно получить из него число a₀ так, чтобы каждый промежуточный многочлен также имел хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56789

Темы:	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 98]