Каталог по темам

Задачи

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 239]

Задача 115284

Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Стороны BC = a, AC = b, AB = c треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65361

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Блинков А.Д.

Окружность, проходящая через вершины A, B и точку пересечения высот треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC во внутренних точках.
Докажите, что 60° < ∠C < 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108180

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66236

Темы:	[	Треугольник (построения)	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте на сторонах BC, CA, AB точки A', B', C' так, чтобы выполнялись следующие условия:
- A'B' || AB;
- C'C – биссектриса угла A'C'B';
- A'C' + B'C' = AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111845

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Астахов В.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB₁. Перпендикуляр, опущенный из точки B₁ на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 42 43 44 45 46 47 48 >> [Всего задач: 239]