На плоскости дано конечное множество $S$ точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множество разделимым, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из $S$ образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество $S$ разделимо?

   Решение

В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 91]      

Докажите, что длину биссектрисы треугольника, проведенной к стороне, равной a, можно вычислить по формуле

l_c = ,

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике KLM проведена биссектриса KP . Окружность, вписанная в треугольник KLP , касается стороны KL в точке Q , причём LQ = a . На сторонах KL и LM выбраны точки E и R соответственно так, что прямая ER проходит через центр окружности, вписанной в треугольник KLM . Найдите длину биссектрисы KP , если известно, что EL + LR = b , а отношение площадей треугольников KLP и ELR равно α .

Прислать комментарий

Решение

Внутри острого угла XAY взята точка D , а на его сторонах AX и AY – точки B и C соответственно, причём ABC = XBD и ACB= YCD . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника ABC , лежит на отрезке AD .

Прислать комментарий

Решение

Биссектриса CD угла ACB при основании BC равнобедренного треугольника ABC делит сторону AB так, что AD=BC . Найдите биссектрису CD и площадь треугольника ABC , если BC=2 .

Прислать комментарий

Решение

Биссектриса MN угла KML при основании ML равнобедренного треугольника KML делит сторону KL так, что KN=ML . Найдите биссектрису MN и периметр треугольника KML , если ML=4 .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 91]