Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 72]

Задача 64881

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116284

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58396

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB^.CD + BC^.AD $\ge$ AC^.BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A₁, A₂, ...A₆ — произвольные точки плоскости, то

$\begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_... ...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6. \end{multline*}$

в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A₁...A₆ — вписанный шестиугольник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58356

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Окружности S₁, S₂,..., S_n касаются двух окружностей R₁ и R₂ и, кроме того, S₁ касается S₂ в точке A₁, S₂ касается S₃ в точке A₂..., S_{n - 1} касается S_n в точке A_{n - 1}. Докажите, что точки A₁, A₂,..., A_{n - 1} лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 58357

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 7+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если существует цепочка окружностей S₁, S₂,..., S_n, каждая из которых касается двух соседних (S_n касается S_{n - 1} и S₁) и двух данных непересекающихся окружностей R₁ и R₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T₁, касающейся R₁ и R₂ (одинаковым образом, если R₁ и R₂ не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T₁, T₂,..., T_n (поризм Штейнера).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 72]