Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 222]

Задача 110789

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Волчкевич М.А.

Дан треугольник ABC и точка P внутри него. A' , B' , C' – проекции P на прямые BC , CA , AB . Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника A'B'C' , лежит внутри треугольника ABC .

Прислать комментарий Решение

Задача 65802

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109803

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Берлов С.Л., Емельянов Л.А., Смирнов А.

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116913

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Точка Нагеля. Прямая Нагеля	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Момент инерции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Карлюченко А.

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что MI = ^r/₃ тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66982

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Mahdi Etesami Fard

В прямоугольном треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина гипотенузы $AB$. Касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $C$ пересекает прямую, проходящую через $I$ и параллельную $AB$, в точке $P$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PAB$. Докажите, что точка пересечения прямых $CH$ и $PM$ лежит на вписанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 222]