Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 378]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116622

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Внутри прямоугольного треугольника АВС выбрана произвольная точка Р, из которой опущены перпендикуляры PK и РМ на катеты АС и ВС соответственно. Прямые АР и ВР пересекают катеты в точках A' и B' соответственно. Известно, что  S_APB' : S_KPB' = m.  Найдите  S_MPA' : S_BPA'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116623

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В турнире по волейболу n команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть Р – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, Q – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что  P = Q.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116666

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Назовём натуральные числа a и b друзьями, если их произведение является точным квадратом. Докажите, что если a – друг b, то a – друг НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116670

Темы:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что  XY = YZ  и  AY = BZ.  Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116715

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Четырёхугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 53 54 55 56 57 58 59 >> [Всего задач: 378]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями